LLセットでコーラ缶グラスをコンプリート

某ハンバーガーチェーンMでLLセットを頼むとコーラ缶型のグラスをもらえるキャンペーンをやってるらしい、と言うのを耳にして実際に行ってみた。
どうやら3色の中からランダムらしく、緑を入手。
あと2色もらうには何食LLセット食べればいいかなと思い、確率計算してみました。

「試行ごとに3種類の中からランダムで手に入る。 $n$ 回目に3種類全て手に入っている確率を求めよ。3種類は相当数用意されており、残数を考慮せず常に各種 $\frac{1}{3}$ の確率で手に入るとする。」こんなモデルでいいでしょう。

$a_n$ を $n$ 回目に1種類手に入っている確率として、同様に $b_n$ を2種類、 $c_n$ を3種類とします。 $(n\geq1)$
求めるのは $c_n$ というわけです。
ちなみに $n$ 回目ちょうどに3種類揃った確率ではなく、 $n$ 回目以前に3種類揃う確率です。もし前者が求めたければ $c_n-c_{n-1}$ で求められます。

明らかに $a_1=1,{\quad}b_1=c_1=c_2=0$ です。
漸化式立てると、
$a_{n+1}=a_n\cdot\frac{1}{3}$ $\cdots\quad(1)$
$b_{n+1}=a_n\cdot\frac{2}{3}+b_n\cdot\frac{2}{3}$ $\cdots\quad(2)$
$c_{n+1}=b_n\cdot\frac{1}{3}+c_n$ $\cdots\quad(3)$
となり、確率なので当然
$a_n+b_n+c+n=1$ $\cdots\quad(4)$
も任意のnに対して成り立ちます。

蛇足ながら解説を少しすると、
$(1)$ は(前回( $n$ 回目)に1種類だった確率 $a_n$ ) $\times$ (今回( $n+1$ 回目)同じ1種類を入手する確率 $\frac{1}{3}$ )。
$(2)$ は( $n$ 回目に1種類だった確率 $a_n$ ) $\times$ ( $n+1$ 回目に異なる2種類のいずれかを入手する確率 $\frac{2}{3}$ )
$+$ ( $n$ 回目に2種類だった確率 $b_n$ ) $\times$ ( $n+1$ 回目に入手済みの2種類のいずれかを入手する確率 $\frac{2}{3}$ )
$(3)$ は( $n$ 回目に2種類だった確率 $b_n$ ) $\times$ ( $n+1$ 回目に最後の1種類を入手する確率 $\frac{1}{3}$ )
$+$ ( $n$ 回目に既に3種入手済みの確率 $c_n$ )

さて解いていきます。
$(1)$ からほぼ自明に、
$a_n=(\frac{1}{3})^{n-1}$ $\cdots\quad(5)$
$(2),\quad(5)$ より
$b_{n+1}=\frac{2}{3}\{b_n+(\frac{1}{3})^{n-1}\}$
両辺 $3^{n+1}$ かけて
$3^{n+1}{\cdot}b_{n+1}=2(3^n{\cdot}b_n+3)$
両辺 $6$ 加えて
$3^{n+1}{\cdot}b_{n+1}+6=2(3^n{\cdot}b_n+6)$
$3^n{\cdot}b_n+6=6\cdot2^{n-1}$ $\cdots\quad(6)$
$3^n{\cdot}b_n=6(2^{n-1}-1)$
$b_n=\frac{2(2^{n-1}-1)}{3^{n-1}}$ $\cdots\quad(7)$

$(6)$ の手前で少しサボりましたが、 $d_n=3^n{\cdot}b_n+6$ とおくと $d_{n+1}=2d_n,{\quad}d_1=6$ となりますので $(6)$ が導けます。

さて $a_n$ , $b_n$ が求まったので $(4),\quad(5),\quad(7)$ より
$c_n=1-(\frac{1}{3})^{n-1}-\frac{2(2^{n-1}-1)}{3^{n-1}}$
$\quad=1-\frac{2^n-1}{3^n-1}$
このままでもいいですが少し整理して
$c_n=\frac{3^{n-1}-2^n+1}{3^{n-1}}$